Parciální diferenciální rovnice popisující dlouhé vedení

(Telegrafní rovnice)

V počátcích sdělovací techniky se informace po vedení přenášely pomocí telegrafních značek. Po vynálezu telefonu (ve rvačce o patent zvítězil Bell) tato technologie nezanikla, bylo použita pro dálnopisnou techniku, kde se pojem telegrafní značka udržel dodnes, i když dálnopisná abeceda se od naší telegrafní abecedy liší. I dnes se přenos veškerých číslicových signálů řídí dále odvozenými rovnicemi, sekundární parametry vedení (např. charakteristická impedance) jsou běžně uváděny, i když již dnes každý nezná jejich původ. Výchozím bodem jsou rovnice, které jako první publikoval James Clerk Maxwell (1831 až 1879).

Náhradní schema elementu dlouhého vedení délky dx ve vzdálenosti x:

kde:

dL je indukčnost elementu dlouhého vedení,

dR je odpor elementu dlouhého vedení,

dC je kapacita elementu dlouhého vedení,

dG je vodivost (svod) elementu dlouhého vedení,

dx je délka elementu dlouhého vedení,

Odvození parciální diferenciálních rovnic popisujících proud i(t,x) a napětí u(t,x) na dlouhém vedení:

(1)

(2)

Výraz nahradíme částí Taylorovy řady:

(3)

kde zanedbáme všechny členy řádu 2 a vyšších

Podobně nahradíme i výraz

(4)

dosazením obdržíme

(5)

(6)

parciální derivací rovnice (5) podle x a (6) podle t dostaneme

(7)

(8)

dalšími jednoduchými úpravami dostaneme parciální diferenciální rovnice 2. řádu (telegrafní rovnice)

(9)

(10)

Pro řešení těchto parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu se používá několik různých metod podle oblasti zájmu. Jedním z nejdůležitějších řešení jsou výrazy popisující šíření kruhových kmitočtů na tomto homogenním vedení.

Řešení pro kruhové kmitočty

Vyjdeme z rovnic (5) a (6)

(11)

(12)

derivací (11) podle x a dosazením z (12) dostaneme

(13)

a podobně

(14)

Řešení rovnice bude ve tvaru

(15)

kde je tzv. konstanta šíření, kterou získáme řešením charakteristické rovnice.

(16)

Derivací (15) a dosazením do (11) dostaneme rovnici pro proud:

(17)

(18)

(19)

Konstanta Z₀ je charakteristická impedance vedení:

(20)

Konstanty a jsou sekundární parametry vedení, pro praxi důležitější, než původní výchozí parametry.

Integrační konstanty A a B určíme z okrajových podmínek vedení. Těmi mohou být napětí a proud na počátku vedení, na konci vedení, jejich kombinace atd.

Určení A a B v případě daných podmínek na počátku vedení:

U_poč =A+B, Z₀I_poč=-A+B

Z toho plyne:

(21)

(22)

Dalšími výpočty podobným způsobem vypočítáme zbývající koeficienty,kterými doplníme rovnice:

(23)

(24)

V maticovém tvaru:

(25)

(26)

pokračování příště